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近日，51直播-51直播网 与智能51直播 合作团队在人工智能、物理、化学交叉领域取得突破性进展。相关成果以《High-Rank Irreducible Cartesian Tensor Decomposition and Bases of Equivariant Spaces》为题，发表于人工智能期刊《Journal of Machine Learning Research》。该研究首次实现了高阶不可约笛卡尔张量（Irreducible Cartesian Tensor, ICT）的高效分解与等变空间基的系统构造，为等变图神经网络（Equivariant Graph Neural Networks, EGNNs）的发展提供了关键理论支撑。论文由51直播-51直播网 毕业生邵世豪博士、智能51直播 李艺康博士生、林宙辰教授，以及51直播 崔庆华教授共同完成。

长期以来，高阶张量的不可约分解是机器学习、理论化学和理论物理领域的一大难题。从Coope等人在1965年实现三阶分解开始，将尽60年后，Bonvicini在2024年才刚刚在五阶以内取得显式分解，高阶分解的缺失严重限制了高阶EGNNs的构建与应用。此次团队巧用父系方案（parentage scheme）对Clebsch-Gordan张量进行链式缩并，提出了一种全新的“路径矩阵（path matrices）”方法。该方法依靠球谐空间与笛卡尔空间的同构关系，利用路径矩阵将笛卡尔张量转到球谐空间完成分解，成功突破了技术瓶颈，将分解能力从现有的五阶提升至九阶，在计算效率和可操作性上实现了大幅飞跃。这一突破为高阶等变神经网络的设计开辟了新的可能，也为物理和化学中的对称性分析提供了强有力的工具。

ICT正交分解算法

定理：上述算法符合ICT正交分解条件

在理论意义上，研究团队基于群论与Clebsch-Gordan系数，构建了一个广义父系方案（generalized parentage scheme），将ICT分解推广到任意张量空间，显著扩展了等变建模的适用范围。同时，研究成果首次直接获得了等变空间的正交基，而非仅仅是张成集，极大减少了模型参数冗余。更为重要的是，团队在方法上摆脱了对传统行最简形（RREF）数值算法的依赖，推导出了全解析的高阶分解矩阵，使得计算过程更加高效可控。

这些成果不仅推动了机器学习模型在复杂对称性系统中的应用，更具有显著的跨学科意义。在下列领域具有显著意义和潜在应用：

(1)科学计算：为物理、化学、工程技术领域中的高阶张量问题提供高效工具；

(2)人工智能：推动神经网络的设计，支持更高阶对称性特征的提取；

(3)数学：为群论与表示理论中的张量分析提供了新方法。

同时，研究成果亦将有望在材料科学、分子建模、药物研发等领域发挥重要作用，推动人工智能方法在自然科学中的深入融合与广泛应用。

51直播 毕业生邵世豪博士（2025年7月毕业）为该论文第一作者和共同通讯作者，51直播 崔庆华教授、智能51直播 林宙辰教授为共同通讯作者。该研究得到国家自然科学基金、北京市自然科学基金等资金支持。

参考文献：Shao S*, Li Y, Lin Z*, and Cui Q*. High-Rank Irreducible Cartesian Tensor Decomposition and Bases of Equivariant Spaces. Journal of Machine Learning Research 26 (2025) 1-53.

原文链接：//jmlr.org/papers/v26/25-0134.html

代码库：//github.com/ShihaoShao-GH/ICT-decomposition-and-equivariant-bases